算法精粹(algorithm-essentials)

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## Gray Code


### 描述

The gray code is a binary numeral system where two successive values differ in only one bit.

Given a non-negative integer `n` representing the total number of bits in the code, print the sequence of gray code. A gray code sequence must begin with 0.

For example, given `n = 2`, return `[0,1,3,2]`. Its gray code sequence is:

```
00 - 0
01 - 1
11 - 3
10 - 2
```


Note:

* For a given `n`, a gray code sequence is not uniquely defined.
* For example, `[0,2,3,1]` is also a valid gray code sequence according to the above definition.
* For now, the judge is able to judge based on one instance of gray code sequence. Sorry about that.


### 分析

格雷码(Gray Code)的定义请参考

**自然二进制码转换为格雷码**:$$g_0=b_0, g_i=b_i \oplus b_{i-1}$$

保留自然二进制码的最高位作为格雷码的最高位,格雷码次高位为二进制码的高位与次高位异或,其余各位与次高位的求法类似。例如,将自然二进制码1001,转换为格雷码的过程是:保留最高位;然后将第1位的1和第2位的0异或,得到1,作为格雷码的第2位;将第2位的0和第3位的0异或,得到0,作为格雷码的第3位;将第3位的0和第4位的1异或,得到1,作为格雷码的第4位,最终,格雷码为1101。

**格雷码转换为自然二进制码**:$$b_0=g_0, b_i=g_i \oplus b_{i-1}$$

保留格雷码的最高位作为自然二进制码的最高位,次高位为自然二进制高位与格雷码次高位异或,其余各位与次高位的求法类似。例如,将格雷码1000转换为自然二进制码的过程是:保留最高位1,作为自然二进制码的最高位;然后将自然二进制码的第1位1和格雷码的第2位0异或,得到1,作为自然二进制码的第2位;将自然二进制码的第2位1和格雷码的第3位0异或,得到1,作为自然二进制码的第3位;将自然二进制码的第3位1和格雷码的第4位0异或,得到1,作为自然二进制码的第4位,最终,自然二进制码为1111。

格雷码有**数学公式**,整数`n`的格雷码是$$n \oplus (n/2)$$。

这题要求生成`n`比特的所有格雷码。

方法1,最简单的方法,利用数学公式,对从 $$0\sim2^n-1$$的所有整数,转化为格雷码。

方法2,`n`比特的格雷码,可以递归地从`n-1`比特的格雷码生成。如下图所示。

![The first few steps of the reflect-and-prefix method.](../images/gray-code-construction.png)


### 数学公式

{% if book.java %}
```java
// Gray Code
// 数学公式,时间复杂度O(2^n),空间复杂度O(1)
public class Solution {
public ArrayList grayCode(int n) {
final int size = 1 << n; // 2^n
ArrayList result = new ArrayList<>(size);

for (int i = 0; i < size; ++i)
result.add(binary_to_gray(i));
return result;
}
private static int binary_to_gray(int n) {
return n ^ (n >> 1);
}
}
```
{% endif %}

{% if book.cpp %}
```cpp
// Gray Code
// 数学公式,时间复杂度O(2^n),空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
vector grayCode(int n) {
const int size = 1 << n; // 2^n
vector result;
result.reserve(size);

for (int i = 0; i < size; ++i)
result.push_back(binary_to_gray(i));
return result;
}
private:
static int binary_to_gray(int n) {
return n ^ (n >> 1);
}
};
```
{% endif %}


### Reflect-and-prefix method

{% if book.java %}
```java
// Gray Code
// reflect-and-prefix method
// 时间复杂度O(2^n),空间复杂度O(1)
public class Solution {
public ArrayList grayCode(int n) {
final int size = 1 << n;
ArrayList result = new ArrayList<>(size);

result.add(0);
for (int i = 0; i < n; i++) {
final int highest_bit = 1 << i;
for (int j = result.size() - 1; j >= 0; j--) // 要反着遍历,才能对称
result.add(highest_bit | result.get(j));
}
return result;
}
}
```
{% endif %}

{% if book.cpp %}
```cpp
// Gray Code
// reflect-and-prefix method
// 时间复杂度O(2^n),空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
vector grayCode(int n) {
const int size = 1 << n;
vector result;
result.reserve(size);

result.push_back(0);
for (int i = 0; i < n; i++) {
const int highest_bit = 1 << i;
for (int j = result.size() - 1; j >= 0; j--) // 要反着遍历,才能对称
result.push_back(highest_bit | result[j]);
}
return result;
}
};
```
{% endif %}