算法精粹(algorithm-essentials)

感谢soulmachine@github提供内容
## Maximum Subarray


### 描述

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array `[−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4]`,
the contiguous subarray `[4,−1,2,1]` has the largest `sum = 6`.


### 分析

最大连续子序列和,非常经典的题。

当我们从头到尾遍历这个数组的时候,对于数组里的一个整数,它有几种选择呢?它只有两种选择: 1、加入之前的SubArray;2. 自己另起一个SubArray。那什么时候会出现这两种情况呢?

如果之前SubArray的总体和大于0的话,我们认为其对后续结果是有贡献的。这种情况下我们选择加入之前的SubArray

如果之前SubArray的总体和为0或者小于0的话,我们认为其对后续结果是没有贡献,甚至是有害的(小于0时)。这种情况下我们选择以这个数字开始,另起一个SubArray。

设状态为`f[j]`,表示以`S[j]`结尾的最大连续子序列和,则状态转移方程如下:

$$f[j] = \max\left\{f[j-1]+S[j],S[j]\right\}, 1 \leq j \leq n$$

$$target = \max\left\{f[j]\right\}, 1 \leq j \leq n$$

解释如下:

* 情况一,S[j]不独立,与前面的某些数组成一个连续子序列,则最大连续子序列和为`f[j-1]+S[j]`。
* 情况二,S[j]独立划分成为一段,即连续子序列仅包含一个数S[j],则最大连续子序列和为`S[j]`。

其他思路:

* 思路2:直接在i到j之间暴力枚举,复杂度是`O(n^3)`
* 思路3:处理后枚举,连续子序列的和等于两个前缀和之差,复杂度`O(n^2)`。
* 思路4:分治法,把序列分为两段,分别求最大连续子序列和,然后归并,复杂度`O(nlog n)`
* 思路5:把思路2`O(n^2)`的代码稍作处理,得到`O(n)`的算法
* 思路6:当成M=1的最大M子段和


### 动规

{% if book.java %}
{% codesnippet "./code/maximum-subarray-1."+book.suffix, language=book.suffix %}{% endcodesnippet %}
{% endif %}

{% if book.cpp %}
```cpp
// Maximum Subarray
// 时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
int maxSubArray(const vector& nums) {
int maxLocal = nums[0];
int global = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
maxLocal = max(nums[i], nums[i] + maxLocal);
global = max(global, maxLocal);
}
return global;
}
};
```
{% endif %}


### 思路5

{% if book.java %}
```java
// Maximum Subarray
// 时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
return mcss(nums, 0, nums.length);
}
// 思路5,求最大连续子序列和
private static int mcss(int[] nums, int begin, int end) {
final int n = end - begin;
int[] sum = new int[n + 1]; // 前n项和

int result = Integer.MIN_VALUE;
int cur_min = sum[0];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum[i] = sum[i - 1] + nums[begin + i - 1];
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
result = Math.max(result, sum[i] - cur_min);
cur_min = Math.min(cur_min, sum[i]);
}
return result;
}
}
```
{% endif %}

{% if book.cpp %}
```cpp
// Maximum Subarray
// 时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector& A) {
return mcss(A.begin(), A.end());
}
private:
// 思路5,求最大连续子序列和
template
static int mcss(Iter begin, Iter end) {
int result, cur_min;
const int n = distance(begin, end);
int *sum = new int[n + 1]; // 前n项和

sum[0] = 0;
result = INT_MIN;
cur_min = sum[0];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum[i] = sum[i - 1] + *(begin + i - 1);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
result = max(result, sum[i] - cur_min);
cur_min = min(cur_min, sum[i]);
}
delete[] sum;
return result;
}
};
```
{% endif %}


### 相关题目

* [Maximum Subarray](maximum-subarray.md)
* [Binary Tree Maximum Path Sum](../binary-tree/recursion/binary-tree-maximum-path-sum.md)